Supplément 4.5 : Polarisation des ondes électromagnétiques : Vecteurs de Stokes et matrices de Müller (1/2)

Outre la méthode de R. Clark Jones, une autre opération matricielle a été développée. Celle-ci n'utilise pas les composantes du champ des ondes électromagnétiques mais leur seconde puissance. Quatre expressions carrées décrivent l'état de polarisation, le degré de polarisation et l'intensité lumineuse. Elles remontent à George Gabriel Stokes, qui leur a donné le nom de paramètres de Stokes. Comparables aux deux composantes du vecteur de Jones, ils forment les quatre composantes du vecteur de Stokes. Les interactions de la lumière sont donc décrites par des matrices 4×4 matrices, qui ont été introduites par Hans Müller et sont appelées matrices de Müller.

Composantes d'intensité sous forme de matrice à colonnes : Vecteurs de Stokes

Nous supposons à nouveau un vecteur de champ électrique d'une onde électromagnétique qui se propage dans la direction x :

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix})

Les composantes du champ sont à nouveau des fonctions complexes. Leurs puissances secondes peuvent être calculées en multipliant les composantes complexes par les composantes complexes conjuguées. Stokes a défini quatre termes carrés, appelés paramètres de Stokes,

\begin{array}{l} I_{y} = E_{y} E_{y}^{*} \\ I_{z} = E_{z} E_{z}^{*} \\ U = E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*} \\ V = i (E_{y} E_{z}^{*} - E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

qui constituent les éléments du vecteur de Stokes :

\vec{S} = (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Carré de quantités complexes ↓

Les quantités complexes ne sont pas faciles à élever au carré. Leurs puissances secondes sont plutôt calculées comme un produit de la quantité complexe et de sa quantité complexe conjuguée. La quantité complexe conjuguée est marquée par le symbole ∗ et résulte de la quantité complexe lorsque le signe de l'unité imaginaire $i = \sqrt{- 1}$ est changé. Si

z = x + i y

est une quantité complexe avec la partie réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ , la quantité complexe conjuguée correspondante est

z^{*} = x - i y

La deuxième puissance de $z$ devient

z z^{*} = x^{2}

comme on le montre facilement en développant sous considération de $i^{2} = - 1$ .

Les noms des paramètres laissent supposer que $I_{y}$ et $I_{z}$ sont les intensités de la lumière qui oscille dans les directions y et z. La signification de $U$ et $V$ n'est pas clairement évidente. Quelques exemples de leur rôle sont indiqués dans la colonne de droite.

Une autre définition ↓

Dans la littérature, une autre définition des deux premiers paramètres de Stokes est souvent utilisée :

\begin{array}{l} I = E_{y} E_{y}^{*} + E_{z} E_{z}^{*} = I_{y} + I_{z} \\ Q = E_{y} E_{y}^{*} - E_{z} E_{z}^{*} = I_{y} - I_{z} \\ U = E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*} \\ V = i (E_{y} E_{z}^{*} - E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

En conséquence, les matrices de Müller sont construites différemment. Il faut en tenir compte lors de la recherche de matrices dans la littérature.

Nous supposons à nouveau une onde plane monochromatique sans aucune restriction de généralité.

E_{y} = E_{y, o} e^{i (k x - ω t)} E_{z} = E_{z, o} e^{i (k x - ω t + φ)}

Les paramètres de Stokes suivants seront révélés :

\begin{array}{l} I_{y} = E_{y,0}^{2} \\ I_{z} = E_{z,0}^{2} \\ U = 2 E_{y,0} E_{z,0} cos φ \\ V = - 2 E_{y,0} E_{z,0} sin φ \end{array}

Les vecteurs de Stokes (mentionnés dans le tableau) pour les types de polarisation les plus importants suivent. L'intensité de la lumière est normalisée à 1. Le terme $ℓ$ désigne la polarisation linéaire avec un indice qui indique l'angle $α$ par rapport à l'axe y. $c$ désigne la polarisation circulaire et $r$ la lumière non polarisée (naturelle). Les flèches au-dessus des vecteurs ont été omises pour des raisons de simplicité.

Vecteur de Stokes	Type de polarisation
$ℓ_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	Linéaire le long de l'axe y
$ℓ_{90} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	Linéaire le long de l'axe z
$ℓ_{45} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$	Linéaire en diagonale dans le premier et le troisième quadrant du plan y,z.
$ℓ_{135} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$	Linéaire en diagonale dans le deuxième et le quatrième quadrant du plan y,z.
$c_{r} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$	circulaire droite
$c_{l} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$	circulaire gauche
$r = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	non polarisé

Il est évident que les propriétés suivantes sont valables :

L'intensité de la lumière est $I_{y} + I_{z}$

\sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + U^{2} + V^{2}} = I_{y} + I_{z} = 1

Pour la lumière non polarisée :
$I_{y} - I_{z} = U = V = 0$
Pour le degré de polarisation déjà défini
$p$ = (Intensité de la partie polarisée)/(Intensité totale)
le terme suivant suivra :
$p = \frac{\sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + U^{2} + V^{2}}}{I_{y} + I_{z}}$

Les vecteurs de Stokes utilisent des puissances secondes de l'intensité du champ électrique. En raison de

E E^{*} = E_{o} e^{i (k x - ω t + φ)} E_{o} e^{- i (k x - ω t + φ)} = E_{o}^{2}

la perte de l'information de phase et de l'information sur les propriétés spectrales, la mise au carré entraîne une perte de l'information. Pour en savoir plus, consultez la section sur les ondes électromagnétiques du chapitre 1.

Les vecteurs de Stokes ne conviennent donc pas à l'analyse des effets cohérents. Contrairement aux vecteurs de Jones, la lumière non polarisée peut également être décrite et le degré de polarisation de la lumière partiellement polarisée peut être déterminé.

Le spectre de la Terre

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Composantes d'intensité sous forme de matrice à colonnes : Vecteurs de Stokes