Temperaturtrend im Wattenmeer 2
- Lineare Regressionsanalyse -
Szenario
Beim Surfen im Internet fand ich Messreihen über die Luft- und Wassertemperatur und sogar über den Salzgehalt des Meerwassers an der Nordseeküste bei Spiekeroog. Die Messwerte sind Mittelwerte für jeden Monat. Die Daten habe ich heruntergeladen und an das Arbeitsblatt angehängt. Sie beginnen im Oktober 2002 und reichen bis März 2009. Die Spalten enthalten jeweils das Jahr, den Monat im Jahr, die Luft- und Wassertemperatur und den Salzgehalt des Meerwassers, immer bei Spiekeroog gemessen. Können wir mit diesen Daten zeigen, dass es an der Nordsee immer wärmer wird, wie es in den Zeitungen steht? Das müssen wir uns genauer ansehen.
Gibt es einen Trend zu höheren Temperaturen, dann müsste man das sehen, wenn man die Monatsmittelwerte von Oktober 2002 bis März 2009 über die Monate in eine Grafik einträgt. Der Trend sollte dann eine ansteigende Kurve ergeben. Wächst die Temperatur proportional zur Zeit, dann ist die Kurve eine ansteigende Gerade.
Kürzlich stand in der Zeitung, dass vor allem die Temperaturen im Herbst in den letzten Jahren stark zugenommen haben. Also habe ich die Wassertemperaturen im Oktober in ein Diagramm gezeichnet. 
Gar nicht so einfach... Bis 2006 steigt die Temperatur kräftig an, aber dann geht sie wieder zurück.
Wie kann man die “richtige” Gerade finden, die den Trend am besten wiedergibt? Sie müsste so im Diagramm liegen, dass der Abstand aller Datenpunkte - also die Abweichung aller tatsächlich gemessenen Werte - kleiner als bei allen anderen Geraden ist, die man ebenfalls einzeichnen könnte! Das Verfahren, mit dem man diese Gerade bestimmt, heißt lineare Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate,, und die so gefundene Gerade ist die Ausgleichsgerade.
Ausgleichsgeraden
Die Frage nach einem Temperaturtrend an der Nordsee zeichnet sich durch zwei Merkmale aus, die Temperatur und die Zeit. Das ist nicht bei allen Problemen der Fall. Die Ergebnisse eines Würfelspiels weisen nur ein Merkmal auf: die gewürfelte Zahl. In vielen Fällen gibt hängt ein Merkmal vom anderen ab. Eine Schraubenfeder wird sich umso mehr ausdehnen (ein Merkmal), je größer das Gewicht ist (das andere Merkmal), das man an ihr aufhängt. Die Auslenkung ist dem Gewicht proportional; dies ist das Hookesche Gesetz, das Sie in der Mechanik vermutlich kennengelernt haben. Linearität ist ein anderes Wort für Proportionalität. Ein linearer Zusammenhang von Merkmalen gilt aber meist nur in Grenzen: überdehnt man die Feder, dann ermüdet sie und verhält sich nichtlinear.
Die Auslenkung der Feder und das an ihr angebrachte Gewicht hängen zusammen, sie sind miteinander korreliert. Es gibt ebenfalls einen Zusammenhang zwischen dem Anstieg der Temperaturen auf der Erde und der in den vergangenen 100 Jahren verstrichenen Zeit: die Korrelation wird durch das zeitliche Anwachsen der Treibhausgase in der Atmosphäre erzeugt.
Oft ist es jedoch ein Zufall und nicht kausal bedingt, wenn solche Merkmale voneinander abzuhängen scheinen. Beispiel: eine Zeitung berichtete, die Abnahme der Störche auf dem Land geht mit einer abnehmenden Geburtenstatistik einher. Korreliert oder nicht?
Eigentlich spricht nichts dafür, dass die Temperatur im Watt linear mit der Zeit wächst. Betrachtet man einen Zeitraum von 100 Jahren, dann trifft dies vermutlich nicht zu. Eine gekrümmte Kurve kann aber in kleinen Bereichen meist recht gut durch eine Gerade (eine Tangente an die gekrümmte Kurve) angenähert werden. Dies vermuten wir auch für die Temperatur, wenn man sie nur über einige Jahre betrachtet. Dann kann man eine Ausgleichsgerade suchen, welche die Lage der über der Zeitachse aufgetragenen Temperaturen am besten wiedergibt. Die Temperaturdaten streuen allerdings mehr oder weniger stark um diese Gerade. Ein Maß dafür, wie nahe die Temperaturdaten auf der Gerade liegen, ist der Korrelationskoeffizient.
Fragen
Mit den monatlichen Mittelwerten
1.	berechnen Sie bitte den Schwerpunkt und die Steigung der Ausgleichsgerade für die Wassertemperatur im Oktober 2002 - 2008. Zeichnen Sie ein Diagramm mit den Temperaturwerten über die Zeit, dem Schwerpunkt und der Ausgleichsgeraden.
2.	berechnen Sie die gleichen Größen für die Daten in der Zeit Oktober 2002 - 2006, und tragen Sie das Ergebnis in das gleiche Diagramm ein.
3.	berechnen Sie die Korrelationskoeffizienten der Daten jeweils für 2002 - 2008 und 2002 - 2006, und diskutieren Sie das Ergebnis.
4.	vergleichen Sie die Wasser- und Lufttemperaturen für Oktober 2002 - 2008. Zeichnen Sie die Werte gegeneinander in ein Diagramm und berechnen Sie die Ausgleichsgerade und den Korrelationskoeffizienten.
5.	vergleichen Sie die Daten der Wassertemperatur und des Salzgehalts für Oktober 2002 - 2008. Zeichnen Sie die Werte gegeneinander in ein Diagramm und berechnen Sie die Ausgleichsgerade und den Korrelationskoeffizienten. Wie interpretieren Sie die Ergebnisse?
Materialien
•	Kapitel 2 Mit Zeitreihen arbeiten der Lerneinheit Zeitreihenanalyse
•	Ergänzung 1: Punktwolken und Ausgleichsgeraden der Lerneinheit Zeitreihenanalyse

Universität Oldenburg, Institut für Physik, Meeresphysik, D-26111 Oldenburg
Monatliche Mittel von Daten der Messstation Spiekeroog, 10/2002 - 03/2009
erzeugt 26-06-2009 rr/tb

NaN: fehlende Daten (not a number)
 
yyyy	mm	T-luft	T-wasser	Salzgehalt	
					
2002	10	8,42	9,11	NaN	
2002	11	5,83	6,68	30,6	
2002	12	0,96	2,55	31,7	
2003	01	1,51	1,71	30,7	
2003	02	0,96	1,49	NaN	
2003	03	4,67	4,84	31,2	
2003	04	7,93	8,09	32,3	
2003	05	11,32	12,40	29,9	
2003	06	18,72	18,45	NaN	
2003	07	18,67	19,69	31,6	
2003	08	16,81	18,25	32,1	
2003	09	15,87	16,73	31,8	
2003	10	8,20	9,80	32,0	
2003	11	6,87	7,04	31,7	
2003	12	4,54	4,70	31,6	
2004	01	2,64	2,79	30,5	
2004	02	4,57	4,43	29,4	
2004	03	5,48	4,92	30,7	
2004	04	9,41	9,44	31,9	
2004	05	11,55	13,05	32,4	
2004	06	14,56	16,32	31,9	
2004	07	16,11	17,38	31,2	
2004	08	20,80	21,23	33,2	
2004	09	15,18	15,87	31,0	
2004	10	12,28	11,35	31,1	
2004	11	6,45	7,87	31,0	
2004	12	3,43	4,50	30,8	
2005	01	2,24	4,51	30,6	
2005	02	2,13	2,42	30,6	
2005	03	4,38	3,41	29,12	
2005	04	9,20	8,65	30,1	
2005	05	11,89	12,60	30,3	
2005	06	16,81	17,61	31,5	
2005	07	17,66	18,98	31,9	
2005	08	16,50	17,21	30,1	
2005	09	16,43	17,21	30,5	
2005	10	13,47	13,23	30,9	
2005	11	8,56	9,44	30,4	
2005	12	4,98	4,74	29,4	
2006	01	1,02	1,66	31,4	
2006	02	2,45	2,31	32,2	
2006	03	2,45	2,43	32,3	
2006	04	7,62	7,91	30,3	
2006	05	12,84	12,68	31,2	
2006	06	15,44	16,12	30,4	
2006	07	20,68	21,12	32,0	
2006	08	17,65	19,29	30,5	
2006	09	18,27	17,91	29,8	
2006	10	13,99	14,52	30,8	
2006	11	9,66	9,56	31,1	
2006	12	7,85	7,46	29,5	
2007	01	7,12	6,62	29,1	
2007	02	5,14	4,90	30,6	
2007	03	8,32	7,31	29,6	
2007	04	11,39	11,18	31,6	
2007	05	13,05	14,45	31,5	
2007	06	17,30	18,19	31,8	
2007	07	17,10	18,23	31,3	
2007	08	17,73	18,55	31,1	
2007	09	14,75	15,27	30,8	
2007	10	11,28	12,07	30,5	
2007	11	7,64	7,75	30,5	
2007	12	4,89	5,23	29,8	
2008	01	5,66	4,49	29,2	
2008	02	5,49	4,89	29,0	
2008	03	5,75	5,77	30,2	
2008	04	8,40	8,67	30,7	
2008	05	14,04	14,27	32,9	
2008	06	16,24	17,55	32,6	
2008	07	18,15	18,67	31,3	
2008	08	17,73	18,61	31,8	
2008	09	15,04	15,86	31,5	
2008	10	10,95	11,76	30,4	
2008	11	7,80	7,98	30,9	
2008	12	3,44	4,02	30,9	
2009	01	1,56	1,70	31,3	
2009	02	2,69	1,94	31,5	
2009	03	5,52	5,13	30,1