Supplément 4.4: Polarisation des ondes électromagnétiques : Vecteurs et matrices de Jones (2/2)

Interactions optiques sous forme de matrice 2×2 : Matrices de Jones

À la suite d'une interaction optique, nous marquons les composantes du champ en pointillés. Elles sont une combinaison linéaire des composantes primaires :

\begin{array}{l} E_{y}^{'} = a_{1} E_{y} + a_{4} E_{z} \\ E_{z}^{'} = a_{3} E_{y} + a_{2} E_{z} \end{array}

Ecrit sous forme de matrice :

(\begin{matrix} E_{y}^{'} \\ E_{z}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & a_{4} \\ a_{3} & a_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix}) \Leftrightarrow {\vec{E}}^{'} = A \vec{E}

La matrice de transformation d'amplitude $A$ est la matrice de Jones.

L'objectif est de trouver une matrice de Jones pour chaque type de composant optique qui modifie la polarisation de la lumière.En réalité, l'effet optique de ces composants dépend de leur orientation par rapport au faisceau lumineux : Un polariseur linéaire, par exemple, influence la lumière polarisée de manière complètement différente en fonction de son orientation. Il en va de même pour la division des faisceaux lumineux lorsqu'ils rencontrent une surface réfringente (verre, eau...).

On peut y parvenir en formulant une seule matrice de Jones pour une orientation définie de tous les composants ou interactions optiques qui influencent la polarisation. La matrice pour d'autres orientations peut être établie en ajustant la lumière polarisée par rotation des coordonnées y et z à la position dans laquelle elle doit interagir avec le composant et en la ramenant ensuite à la position initiale.

Une rotation des coordonnées y et z d'un angle $α$ dans un autre système de coordonnées y' et z' comme le montre le graphique suivant ...

Rotation des coordonnées y et z de l'angle

α

. L'axe x est la direction de propagation de la lumière.

... est calculée comme suit :

\begin{array}{l} y' = y cos α - z sin α \\ z' = y sin α + z cos α \end{array}

Equations ↓

Les coefficients du système d'équations sont les éléments de la matrice de rotation :

R (α) = (\begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix})

Si nous nommons $A$ les matrices de transformation d'amplitude des composantes avec une orientation définie et $A (α)$ les mêmes composantes avec un angle $α$ , alors cela devient :

A (α) = R (α) \cdot A \cdot R (- α)

Des exemples de matrices de Jones sont présentés dans le tableau suivant. Elles sont valables pour des propriétés idéales, c'est-à-dire des composants sans absorption ni réflexion et des surfaces parfaitement planes.

Matrice Jones	Composant ou interaction
$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$	Polariseur linéaire transmettant le long de l'axe y
$(\begin{matrix} e^{- i φ / 2} & 0 \\ 0 & e^{i φ / 2} \end{matrix})$	Retardateur avec une différence de phase $φ$ des parties de l'onde, axe rapide dans la direction y
$(\begin{matrix} e^{- i π / 4} & 0 \\ 0 & e^{i π / 4} \end{matrix})$	Retardateur $λ / 4$ (plaque d'onde $λ / 4$ ) avec $φ = π / 2$ , axe rapide dans la direction y
$(\begin{matrix} e^{- i π / 2} & 0 \\ 0 & e^{i π / 2} \end{matrix})$	Retardateur $λ / 2$ (plaque d'onde $λ / 2$ ) avec $φ = π$ , axe rapide dans la direction y
$(\begin{matrix} t_{∥} & 0 \\ 0 & t_{⊥} \end{matrix})$	Réfraction de Fresnel sur un matériau diélectrique avec un angle d'incidence $δ_{i}$ et un angle de réfraction $δ_{t}$ , l'axe y est dans le plan d'incidence et l'axe z est perpendiculaire au plan d'incidence, et avec les coefficients d'amplitude de Fresnel pour la réfraction : $\begin{array}{l} t_{∥} = 2 sin δ_{t} cos δ_{i} / (sin (δ_{i} + δ_{t}) cos (δ_{i} - δ_{t})) \\ t_{⊥} = 2 sin δ_{t} cos δ_{i} / sin (δ_{i} + δ_{t}) \end{array}$
$(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} r_{∥} & 0 \\ 0 & r_{⊥} \end{matrix})$	Réflexion de Fresnel sur un matériau diélectrique avec un angle d'incidence $δ_{i}$ et un angle de réfraction $δ_{t}$ , l'axe y est dans le plan d'incidence et l'axe z est perpendiculaire au plan d'incidence, et avec les coefficients d'amplitude de Fresnel pour la réflexion : $\begin{array}{l} r_{∥} = - tan (δ_{i} - δ_{t}) / tan (δ_{i} + δ_{t}) \\ r_{⊥} = - sin (δ_{i} - δ_{t}) / sin (δ_{i} + δ_{t}) \end{array}$ La matrice de gauche résulte du changement de direction de la propagation de la lumière dû à la réflexion.
$(\begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix})$	Rotation de l'angle $α$

L'effet de plusieurs composants dans une rangée serait calculé à partir du produit des matrices respectives. Pour n composants :

A = A_{n} \cdot A_{n - 1} \cdot ... \cdot A_{2} \cdot A_{1}

où $A_{1}$ est la première et $A_{n}$ la dernière composante transmise dans une rangée. Les matrices ne sont pas commutatives (l'inversion des composantes aurait également des conséquences).

Tâche : Lumière à travers un ralentisseur

λ / 2

↓

Veuillez calculer la matrice de Jones d'un ralentisseur $λ / 2$ avec l'axe rapide en direction de la coordonnée z.
Calculez les types de polarisation de la lumière transmise pour un ralentisseur $λ / 2$ avec l'axe rapide en direction de la coordonnée z, pour une lumière incidente ayant l'intensité 1 et les polarisations suivantes :
a) linéaire le long de l'axe y
b) linéaire en diagonale dans les premier et troisième quadrants
c) linéaire le long de l'axe z
d) linéaire en diagonale dans les deuxième et quatrième quadrants

Vous trouverez les solutions sur une autre page. Mais essayez d'abord vous-même !

Le spectre de la Terre

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