Supplément 4.5 : Polarisation des ondes électromagnétiques : Vecteurs de Stokes et matrices de Müller (2/2)

Les interactions optiques sont des matrices 4×4 : Matrices de Müller

Les éléments d'un vecteur de Stokes $\vec{S}$ changent lorsqu'ils sont multipliés par une matrice 4×4. Cette matrice indique les interactions de la lumière avec un élément optique ou un autre effet optique qui affecte l'intensité et la polarisation. En marquant le vecteur de Stokes après l'interaction - tout comme le vecteur de Jones dans la section précédente - comme une quantité en pointillés, on peut l'écrire :

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & ... & ... & a_{14} \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{41} & ... & ... & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{S}' = M \cdot \vec{S}

La matrice de transformation de l'intensité $M$ est la matrice de Müller.

Afin de trouver la matrice de Müller pour une interaction, on peut (si ce n'est pas indiqué dans la littérature) revenir à la transformation plus facile d'accès des forces de champ

\begin{array}{l} E_{y}^{'} = a_{1} E_{y} + a_{4} E_{z} \\ E_{z}^{'} = a_{3} E_{y} + a_{2} E_{z} \end{array}

et appliquer le champ en pointillés à la définition des paramètres de Stokes. Après avoir trié les termes qui en découlent, les éléments de la matrice de Müller deviennent identifiables.

Exemple 1 : Matrice d'un ralentisseur, axe rapide dans la direction y ↓

La matrice d'un ralentisseur idéal avec une différence de phase $φ$ des parties de l'onde et un axe rapide dans la direction y peut être obtenue à partir de la transformation de l'intensité du champ :

E_{y}' = e^{- i φ / 2} E_{y} E_{z}' = e^{i φ / 2} E_{z}

Appliqué aux paramètres de Stokes, on trouve :

\begin{array}{l} I_{y}' = E_{y}' E_{y}^{*}' = E_{y} E_{y}^{*} = I_{y} \\ I_{z}' = E_{z}' E_{z}^{*}' = E_{z} E_{z}^{*} = I_{z} \\ U' = E_{y}' E_{z}^{*}' + E_{z}' E_{y}^{*}' = e^{- i φ} E_{y} E_{z}^{*} + e^{i φ} E_{z} E_{y}^{*} \\ = (cos φ - i sin φ) E_{y} E_{z}^{*} + (cos φ + i sin φ) E_{z} E_{y}^{*} \\ = cos φ U - sin φ V \\ V' = i (E_{y}' E_{z}^{*}' - E_{z}' E_{y}^{*}') = i (e^{- i φ} E_{y} E_{z}^{*} - e^{i φ} E_{z} E_{y}^{*}) \\ = i ((cos φ - i sin φ) E_{y} E_{z}^{*} - (cos φ + i sin φ) E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

La transformation sous forme de matrice :

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & 0 & sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Exemple 2 : Matrice du polariseur linéaire avec orientation diagonale ↓

La transformation de l'intensité du champ pour un polariseur linéaire idéal avec une orientation diagonale dans le premier et le troisième quadrant du plan y,z :

\begin{array}{l} E_{y}' = \frac{1}{2} E_{y} + \frac{1}{2} E_{z} \\ E_{z}' = \frac{1}{2} E_{y} + \frac{1}{2} E_{z} \end{array}

Appliqué aux paramètres de Stokes :

\begin{array}{l} I_{y}' = E_{y}' E_{y}^{*}' = \frac{1}{4} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{4} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{4} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{4} (I_{y} + I_{z} + U) \\ I_{z}' = E_{z}' E_{z}^{*}' = \frac{1}{4} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{4} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{4} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{4} (I_{y} + I_{z} + U) \\ U' = E_{y}' E_{z}^{*}' + E_{z}' E_{y}^{*}' = \frac{1}{2} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{2} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{2} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{2} (I_{y} + I_{z} + U) \\ V' = i (E_{y}' E_{z}^{*}' - E_{z}' E_{y}^{*}') = 0 \end{array}

La transformation sous forme de matrice :

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Choisissez vous-même des exemples et découvrez dans quelle mesure l'intensité et le type de polarisation de la lumière changent lors du passage du polarisateur avec cette orientation !

De la même manière que dans les exemples, il est possible de trouver les matrices de Müller pour la rotation des coordonnées y,z par l'angle $α$ . Cela conduit à la matrice de rotation :

R (α) = (\begin{matrix} {cos}^{2} α & {sin}^{2} α & \frac{1}{2} sin 2 α & 0 \\ {sin}^{2} α & {cos}^{2} α & - \frac{1}{2} sin 2 α & 0 \\ - sin 2 α & sin 2 α & cos 2 α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Les matrices de certains composants dont l'orientation de base est donnée dans la colonne de droite peuvent être transférées vers une orientation à l'angle $α$ :

M (α) = R (α) \cdot M \cdot R (- α)

L'effet de plusieurs composants dans une rangée serait calculé de la même manière que les matrices de Jones, en utilisant le produit non-commutatif de chaque matrice de Müller, pour n composants :

M = M_{n} \cdot M_{n - 1} \cdot ... \cdot M_{2} \cdot M_{1}

Dans la dernière position d'un montage optique, il y a souvent un photodétecteur pour mesurer l'intensité de la lumière. Le détecteur peut être représenté comme un vecteur ligne $\vec{D} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ à l'aide duquel la somme des deux premiers éléments d'un vecteur de Stokes est calculée :

I_{y}' + I_{z}' = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot M \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

La matrice des lignes du détecteur peut être détaillée par des facteurs spectraux afin de tenir compte de la sensibilité à la longueur d'onde et de l'efficacité quantique.

Equations ↓

Müller matrix	Composant ou interaction
$P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	Polariseur linéaire transmettant le long de l'axe y
$Q_{φ} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & 0 & sin φ & cos φ \end{matrix})$	Retardateur avec une différence de phase $φ$ des parties de l'onde, axe rapide dans la direction y
$Q_{λ / 4} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$	Retardateur $λ / 4$ (plaque d'onde $λ / 4$ ) avec $φ = π / 2$ , axe rapide dans la direction y
$Q_{λ / 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})$	Retardateur $λ / 2$ (plaque d'onde $λ / 2$ ) avec $φ = π$ , axe rapide dans la direction y
$T = \frac{n_{2} cos δ_{t}}{n_{1} cos δ} (\begin{matrix} t_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t_{∥} t_{⊥} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_{∥} t_{⊥} \end{matrix})$	Réfraction de Fresnel à une interface diélectrique. Les quantités n₁ et n₂ sont les indices de réfraction du milieu incident et du milieu réfracté. Les coefficients de Fresnel sont donnés dans la section sur les matrices de Jones.
$X = (\begin{matrix} r_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - r_{∥} r_{⊥} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - r_{∥} r_{⊥} \end{matrix})$	Réflexion de Fresnel sur une interface diélectrique. Les signes négatifs des composantes mixtes résultent du changement de direction de la propagation de la lumière dû à la réflexion. Les coefficients de Fresnel sont donnés dans la section sur les matrices de Jones.
$Y = (\begin{matrix} r_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & - s & c \end{matrix})$ avec les abréviations $c = r_{∥} r_{⊥} cos Δ$ $s = r_{∥} r_{⊥} sin Δ$	Réflexion de Fresnel sur une surface métallique. Les angles d'incidence de 0 à 90° provoquent des angles de phase Δ de 0 à 180° entre les ondes partielles orthogonales. Toutes les quantités sont des fonctions de l'indice de réfraction complexe m=n-in', où n est l'indice de réfraction réel et n' est le coefficient d'extinction du métal, tous deux dépendant de la longueur d'onde. Une présentation plus détaillée est donnée par exemple dans David Clarke: Stellar Photometry (Wiley-VCH, 2010), Appendix A.

Tâche : Lumière à travers un retardateur

λ / 4

↓

Veuillez calculer la matrice de Müller d'un ralentisseur $λ / 4$ avec l'axe rapide en direction de la coordonnée z.
Calculez le type de polarisation de la lumière qui passe pour un ralentisseur $λ / 2$ avec l'axe rapide en direction de la coordonnée z, pour une lumière entrante d'intensité 1 et ayant les polarisations suivantes :
a) linéaire le long de la coordonnée y
b) linéaire en diagonale dans le premier et le troisième quadrant
c) linéaire le long de la coordonnée z
d) linéaire en diagonale dans les deuxième et quatrième quadrants

Vous trouverez les solutions sur une autre page. Essayez d'abord de résoudre ce problème vous-même !

Le spectre de la Terre

Supplément 4.5 : Polarisation des ondes électromagnétiques : Vecteurs de Stokes et matrices de Müller (2/2)

Les interactions optiques sont des matrices 4×4 : Matrices de Müller