Supplément 4.6: La matrice de diffusion (1/2)

La diffusion de la lumière est définie comme le changement de la direction de propagation de la lumière après avoir heurté des particules. Elle dépend d'un grand nombre de paramètres. De quel matériau sont constituées les particules ? Quel est l'indice de réfraction du matériau ? Absorbe-t-il la lumière ou est-il transparent ? La structure, la forme et la taille des particules sont importantes, de même que leur position ordonnée ou statistiquement aléatoire. De même, la longueur d'onde de la lumière et sa polarisation sont importantes.

Ces propriétés déterminent l'intensité de la diffusion et sa distribution angulaire. En outre, les propriétés du milieu (air, eau, ...) dans lequel les particules sont suspendues sont essentielles : le milieu est-il homogène et isotrope ou présente-t-il des structures spatiales comme les cristaux ?

Pour une compréhension de base de la diffusion de la lumière, il suffit de supposer des conditions simplifiées. Nous supposons donc que le milieu est isotrope et que les particules sont réparties au hasard dans l'espace. Dans un deuxième temps, nous ajouterons l'hypothèse de particules sphériques. Ainsi, le calcul de la diffusion de la lumière n'est pas trop compliqué.

Diffusion par des particules distribuées de manière aléatoire

Les intensités et la polarisation de la lumière diffusée sont représentées dans la matrice de diffusion $S$ , qui est un exemple des matrices de Müller décrites dans la section précédente. Indépendamment de toute hypothèse simplificatrice, elle se compose de 4×4 éléments indépendants $a_{11} ... a_{44}$ :

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{S}' = S \cdot \vec{S}

Le vecteur de Stokes $\vec{S}$ indique la lumière éclairante, tandis que le vecteur $\vec{S}'$ indique la lumière diffusée. Le symbol $S$ sans flèche est la matrice de diffusion.

En incluant les 16 éléments, l'examen théorique ou expérimental d'une matrice de diffusion serait assez compliqué. Francis Perrin a montré qu'il ne reste que six éléments si les particules sont distribuées au hasard dans un milieu isotrope :

S = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{12} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & - a_{34} & a_{44} \end{matrix})

Si les particules ont une forme quelconque, leur illumination avec une lumière complètement polarisée peut donner lieu à une lumière diffusée partiellement dépolarisée. L'élément $a_{12}$ génère une lumière diffusée dépolarisée, comme le montre l'exemple de l'éclairage des particules avec une lumière polarisée linéaire le long de la coordonnée y :

(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & - a_{34} & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = S \cdot ℓ_{o}

La lumière diffusée peut être décomposée en une composante polarisée et une composante non polarisée :

(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{12} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} - a_{12} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{12} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} I_{y, p} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} I_{y, u} \\ I_{z, u} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

où les indices p et u représentent respectivement la partie polarisée et la partie non polarisée. Pour la partie non polarisée, il faut nécessairement que ce soit vrai : $I_{y, u} = I_{z, u}$ , et $U = V = 0$ .

Equations ↓

Diffusion par des particules sphériques

En raison de la symétrie sphérique, qui ne permet aucune direction privilégiée, aucune polarisation ou dépolarisation de la lumière diffusée n'est possible. La matrice de diffusion devient :

S = (\begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & - a_{34} & a_{33} \end{matrix})

Dans ce cas, il n'y a que trois éléments variables, puisque :

a_{11} a_{22} = a_{33}^{2} + a_{34}^{2}

Cela concorde avec l'affirmation selon laquelle la lumière diffusée est entièrement polarisée (le vecteur de Stokes d'une lumière entièrement polarisée n'a lui aussi que trois paramètres de Stokes indépendants). La validité de la relation peut être calculée à l'aide des éléments d'amplitude $a_{1}$ et $a_{2}$ de la matrice de Jones (la matrice de transformation d'amplitude) :

\begin{array}{l} a_{11} = a_{1} a_{1} * \\ a_{22} = a_{2} a_{2} * \\ a_{33} = (a_{1} a_{2} * + a_{2} a_{1} *) / 2 \\ a_{34} = i (a_{1} a_{2} * - a_{2} a_{1} *) / 2 \end{array}

$i$ représente le nombre complexe $\sqrt{- 1}$ et $*$ indique le complexe conjugué de chaque quantité complexe.

Diffusion par des particules de tailles différentes ↓

En revanche, si les particules sont de taille différente, il s'applique que :

a_{11} a_{22} \geq a_{33}^{2} + a_{34}^{2}

la lumière diffusée n'est que partiellement polarisée lorsqu'elle est éclairée par une lumière polarisée. Les angles de diffusion de 0° et 180° constituent une exception : la lumière diffusée reste entièrement polarisée en raison de la symétrie axiale.

La matrice de Jones pour la diffusion de la lumière par des particules sphériques est une matrice diagonale puisque les éléments $a_{3}$ et $a_{4}$ sont égaux à zéro :

(\begin{matrix} a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} \end{matrix})

Les théories électromagnétiques de la diffusion de la lumière visent à calculer les fonctions d'amplitude

S_{1} = k a_{1}

S_{2} = k a_{2}

qui sont associées aux éléments $a_{1}$ et $a_{2}$ de la matrice de Jones à travers le nombre d'onde $k = 2 π / λ$ respectivement la longueur d'onde $λ$ .